완전순열

순열의 일종.

완전순열 또는 교란순열[1]은 사람들이 각각 자신의 모자를 벗었다가 아무 모자나 다시 쓰는데, 모든 사람이 자기 것이 아닌 모자를 쓰는 순열이라 할 수 있고, 이는 곧 치환에서 부동점[2]이 없는 경우를 가리킨다.[3] 그리고 모든 완전 순열의 수를 준계승 또는 교란수라고 하며, 이 개념을 처음 제시한 프랑스의 수학자 피에르 레몽 드몽모르(Pierre Raymond de Montmort)의 이름을 따 드몽모르 수라고도 한다.

기호로는 '교란'을 뜻하는 영단어 derangement의 머리글자를 따서 $D_n$, $d_n$ 또는 준계승을 의미하는 $!n$ 등으로 나타낸다.

$1$부터 $n$까지의 자연수를 한 줄 써 놓고, 아랫줄에도 한 줄 더 쓴다. 윗줄의 숫자들을 아랫줄의 숫자들로 하나하나씩 대응할 때 자기 자신을 제외한 다른 숫자로 대응을 하면 된다. 이렇게 대응하는 방법의 수를 센 것이 $D_n$이다.

먼저 $1$을 $2$부터 $n$까지 총 $(n-1)$개의 자연수 중 하나로 대응해야 한다. 이때 $1$이 $k$에 대응된다고 하면 이후의 대응을 아래의 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

$k$로 가능한 수는 $1$을 제외한 $(n-1)$가지가 있으므로 전체 경우의 수는 $D_n= (n-1) \left( D_{n-1}+D_{n-2} \right)$

점화식을 얻으면 일반항에 한 걸음 다가간 것이다. 매우 교묘하게도, 적절히 이항해서 위 점화식을 다음과 같이 변형해주고

$D_n - nD_{n-1} = - \left\{D_{n-1} - \left( n-1 \right) D_{n-2} \right\}$
좌변을 $a_n$으로 놓으면, 우변은 $-a_{n-1}$이 되므로 수열 $a_n$은 공비가 $-1$인 등비수열이다. $a_2 = D_2 -2D_1 = 1$이므로 $a_n= \left( -1 \right)^n$이다. 따라서

$D_n - nD_{n-1} = \left( -1 \right)^n$
로 정리할 수 있다.

이제 양변을 $n!$로 나누면

$\dfrac{D_n}{n!} - \dfrac{D_{n-1}}{(n-1)!} = \dfrac{\left( -1 \right)^n}{n!}$
$\dfrac{D_n}{n!} = b_n$라 놓으면 식은 $b_n - b_{n-1} = \dfrac{\left( -1 \right)^n}{n!}$이 되며 이는 전형적인 점화식 꼴이다. 하나씩 대입하면서 더해나가면
$\displaystyle b_n = b_1 + \sum_{k=2}^n \frac{\left( -1 \right)^k}{k!}$
$\displaystyle \frac{D_n}{n!} = \frac{D_1}{1!} + \sum_{k=2}^n \frac{\left( -1 \right)^k}{k!} = \sum_{k=2}^n \frac{\left( -1 \right)^k}{k!}$
이 되는데 $\dfrac{\left( -1 \right)^0}{0!} + \dfrac{\left( -1 \right)^1}{1!} = 0$이므로 $k=0$부터 더해나가도 된다. 결과적으로 일반항은 다음과 같다.

$\dfrac{n!}{k!} = {}_n{\rm P}_{n-k}$이므로 위 식은 $\displaystyle \sum_{k=0}^n {}_n{\rm P}_{n-k} \left( -1 \right)^k$로도 나타낼 수 있으며 $n \ge 2$일 경우 $k=0$인 항과 $k=1$인 항을 더한 값이 $0$이 되므로 순열을 이용한 표기로는

가 된다.
또한 $\displaystyle e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$이므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{D_n}{n!} = \frac 1e$이며 이를 통해 $D_n$은 $\dfrac{n!}{e}$의 반올림 값임을 알 수 있다.

위 일반항은 포함·배제의 원리로도 유도가 가능하다. $n$개의 물체를 배열하는 경우의 수가 $n!$이고 이 중 부동점의 개수가 $k$개 이상인 배열의 개수는 $\dfrac{n!}{k!}$개이므로 포함·배제의 원리를 적용하면 원하는 결과를 얻는다.

앞서 말했듯이 완전순열은 '자기 모자 안 쓰는 경우의 수'라고 할 수 있다. 점화식으로 항을 구하기 위하여 처음의 두 항을 직접 구해 보자.

사람이 하나이면 자기 모자를 자기가 쓰는 경우밖에 없으므로 당연히 $D_1=0$이다.
사람이 둘이면 서로가 모자를 바꿔 쓰는 방법이 유일하므로 $D_2=1$이다.

이제 점화식 $D_n= (n-1) \left( D_{n-1}+D_{n-2} \right)$를 이용하여 각 항을 구하면 된다.

$D_3=2(1+0)=2$
$D_4=3(2+1)=9$
$D_5=4(9+2)=44$
$D_6=5(44+9)=265$
$D_7=6(265+44)=1854$
⋮

이처럼 $D_n$의 값은 갈수록 급격히 커진다.

완전순열을 다루는 문제에서는, 그냥 $D_5$까지는 외워두자. 차례대로 $0, 1, 2, 9, 44$이다. 그마저도 $D_5=44$도 너무 많다고 하여 잘 나오지 않으며, $D_6=265$부터는 경우의 수가 너무 많아져 절대 나오지 않는다.

이걸 좀 더 업그레이드하면 다음과 같다.